Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ ; find $f^{- 1} (x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ comme une équation.

$y = \frac{x^{7}}{8} + 8$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y^{7}}{8} + 8$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$ .

$\frac{y^{7}}{8} + 8 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{7}}{8} = x - 8$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Étape 3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y^{7}}{8} = 8 (x - 8)$

Étape 3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{7} = 8 (x - 8)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Simplifiez $8 (x - 8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{7} = 8 x + 8 \cdot - 8$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$y^{7} = 8 x - 64$

Étape 3.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[7]{8 x - 64}$

Étape 3.6

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x) - 64}$

Étape 3.6.2

Factorisez $8$ à partir de $- 64$ .

$y = \sqrt[7]{8 x + 8 \cdot - 8}$

Étape 3.6.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$y = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 ((\frac{x^{7}}{8} + 8) - 8)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez en soustrayant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8} + 0)}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $\frac{x^{7}}{8}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{8 (\frac{x^{7}}{8})}$

Étape 5.2.4

Associez $8$ et $\frac{x^{7}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Étape 5.2.5

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Réduisez l’expression $\frac{8 x^{7}}{8}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{8 x^{7}}{8}}$

Étape 5.2.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{\frac{x^{7}}{1}}$

Étape 5.2.5.2

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Étape 5.2.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (\frac{x^{7}}{8} + 8) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\sqrt[7]{8 (x - 8)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(\sqrt[7]{8 (x - 8)})}^{7}}{8} + 8$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt[7]{8 (x - 8)}}^{7}$ comme $8 (x - 8)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[7]{8 (x - 8)}$ comme ${(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{({(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $7$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{{(8 (x - 8))}^{\frac{7}{7}}}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.1.5

Simplifiez

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.3

Multipliez $8$ par $- 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x - 64}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.4

Factorisez $8$ à partir de $8 x - 64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1.4.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x) - 64}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.4.2

Factorisez $8$ à partir de $- 64$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 x + 8 \cdot - 8}{8} + 8$

Étape 5.3.3.1.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 x + 8 \cdot - 8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = \frac{8 (x - 8)}{8} + 8$

Étape 5.3.3.2.2

Divisez $x - 8$ par $1$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x - 8 + 8$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 8 + 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\sqrt[7]{8 (x - 8)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x^{7}}{8} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{8 (x - 8)}$