Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Étape 1

Déterminez où l’expression $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ est indéfinie.

$x = \ln (2), x = \ln (3)$

Étape 2

Comme $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\ln (2)$ depuis la gauche et $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\ln (2)$ depuis la droite, $x = \ln (2)$ est une asymptote verticale.

$x = \ln (2)$

Étape 3

Comme $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $\ln (3)$ depuis la gauche et $\frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $\ln (3)$ depuis la droite, $x = \ln (3)$ est une asymptote verticale.

$x = \ln (3)$

Étape 4

Indiquez toutes les asymptotes verticales :

$x = \ln (2), \ln (3)$

Étape 5

Évaluez $lim_{x \to - \infty} \frac{3 e^{2 x} + 2}{e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 5.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Étape 5.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Étape 5.1.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - \infty} e^{2 x} + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Étape 5.2

Comme l’exposant $2 x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{2 x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Étape 5.3

Évaluez la limite.

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Étape 5.3.1

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - 5 e^{x} + 6}$

Étape 5.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{lim_{x \to - \infty} e^{2 x} - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Étape 5.4

Comme l’exposant $2 x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{2 x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - lim_{x \to - \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Étape 5.5

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 lim_{x \to - \infty} e^{x} + lim_{x \to - \infty} 6}$

Étape 5.6

Comme l’exposant $x$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + lim_{x \to - \infty} 6}$

Étape 5.7

Évaluez la limite.

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Étape 5.7.1

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0 - 5 \cdot 0 + 6}$

Étape 5.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun à $3 \cdot 0 + 2$ et $0 - 5 \cdot 0 + 6$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $- 1 (0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - 5 \cdot 0 + 6}$

Étape 5.7.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0) - (5 \cdot 0) + 6}$

Étape 5.7.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) + 6}$

Étape 5.7.2.1.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6}$

Étape 5.7.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (0 + 5 \cdot 0) - 1 \cdot - 6$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 5 \cdot 0 - 6)}$

Étape 5.7.2.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Étape 5.7.2.1.7

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 0$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Étape 5.7.2.1.8

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0) + 2 (1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Étape 5.7.2.1.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \cdot 0) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)}$

Étape 5.7.2.1.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.2.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 6)$ .

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Étape 5.7.2.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 \cdot 0 + 1)}{2 (- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3))}$

Étape 5.7.2.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \cdot 0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Étape 5.7.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.2.2.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Étape 5.7.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 \cdot 5 - 3)}$

Étape 5.7.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.7.2.3.1

Multipliez $0$ par $5$ .

$\frac{1}{- 1 (0 + 0 - 3)}$

Étape 5.7.2.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{- 1 (0 - 3)}$

Étape 5.7.2.3.3

Soustrayez $3$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot - 3}$

Étape 5.7.2.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 6

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = \frac{1}{3}$

Étape 7

Il n’y a pas d’asymptote oblique car le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur.

Aucune asymptote oblique

Étape 8

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = \ln (2), \ln (3)$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{1}{3}$

Aucune asymptote oblique

Étape 9