Pré-algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 25} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{x^{2} - 5^{2}} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{x - 1}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{x - 1}{x + 5} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x - 1}{x + 5}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20}{(x + 5) (x - 5)} + \frac{(x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + (x - 1) (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(x - 1) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x (x - 5) - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 (x - 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x \cdot x + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} + x \cdot - 5 - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x - 1 \cdot - 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 5 x - x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.2.2

Soustrayez $x$ de $- 5 x$ .

$\frac{x^{2} + 13 x - 20 + x^{2} - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.3

Additionnez $x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 20 - 6 x + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.4

Soustrayez $6 x$ de $13 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 20 + 5}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.5

Additionnez $- 20$ et $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ et dont la somme est $b = 7$ .

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Étape 4.6.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.1.2

Réécrivez $7$ comme $- 3$ plus $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 4.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $x + 5$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 x - 3) (x + 5)}{(x + 5) (x - 5)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x - 3}{x - 5}$