Pré-algèbre Exemples

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{k^{2} - 1^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = k$ et $b = 1$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{k + 5}{k + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{k + 5}{k + 1} \cdot \frac{k - 1}{k - 1} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{k + 5}{k + 1}$ par $\frac{k - 1}{k - 1}$ .

$\frac{(k + 5) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} + \frac{8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(k + 5) (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(k + 5) (k - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{k (k - 1) + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 (k - 1) + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{k \cdot k + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $k$ par $k$ .

$\frac{k^{2} + k \cdot - 1 + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $k$ .

$\frac{k^{2} - 1 \cdot k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.2.1.3

Réécrivez $- 1 k$ comme $- k$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k + 5 \cdot - 1 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{k^{2} - k + 5 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.2.2

Additionnez $- k$ et $5 k$ .

$\frac{k^{2} + 4 k - 5 + 8}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.3

Additionnez $- 5$ et $8$ .

$\frac{k^{2} + 4 k + 3}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 4.4

Factorisez $k^{2} + 4 k + 3$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $3$ et dont la somme est $4$ .

$1, 3$

Étape 4.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $k + 1$ .

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(k + 1) (k + 3)}{(k + 1) (k - 1)}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{k + 3}{k - 1}$