Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} - \frac{6}{32.5} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} \end{array}]$

Étape 1

Écrivez comme une matrice augmentée pour $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{6}{32.5} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 2.1

Divisez $6$ par $32.5$ .

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 0.1\overline{846153} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez $- 1$ par $0.1\overline{846153}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & \frac{18}{35.4} & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.3

Divisez $18$ par $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - \frac{6}{37.8} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.4

Divisez $6$ par $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 1 \cdot 0.\overline{158730} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $0.\overline{158730}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - \frac{30}{31.5} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.6

Divisez $30$ par $31.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 1 \cdot 0.\overline{952380} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.7

Multipliez $- 1$ par $0.\overline{952380}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - \frac{30}{35.4} & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.8

Divisez $30$ par $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 1 \cdot 0.84745762 & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.9

Multipliez $- 1$ par $0.84745762$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - \frac{30}{37.8} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.10

Divisez $30$ par $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 1 \cdot 0.\overline{793650} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.11

Multipliez $- 1$ par $0.\overline{793650}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - \frac{7.5}{31.5} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.12

Divisez $7.5$ par $31.5$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 1 \cdot 0.\overline{238095} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.13

Multipliez $- 1$ par $0.\overline{238095}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - \frac{5.4}{35.4} & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.14

Divisez $5.4$ par $35.4$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 1 \cdot 0.15254237 & - \frac{22.2}{37.8} & 0 \end{array}]$

Étape 2.15

Multipliez $- 1$ par $0.15254237$ .

Étape 2.16

Divisez $22.2$ par $37.8$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 1 \cdot 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Étape 2.17

Multipliez $- 1$ par $0.\overline{587301}$ .

$[\begin{array}{c} - 0.1\overline{846153} & 0.50847457 & - 0.\overline{158730} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Étape 2.18

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{- 0.1\overline{846153}}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

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Étape 2.18.1

Multipliez chaque élément de $R_{1}$ par $\frac{1}{- 0.1\overline{846153}}$ pour faire de l’entrée sur $1, 1$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.1\overline{846153}}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{0.50847457}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{- 0.\overline{158730}}{- 0.1\overline{846153}} & \frac{0}{- 0.1\overline{846153}} \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Étape 2.18.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ - 0.\overline{952380} & - 0.84745762 & - 0.\overline{793650} & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Étape 2.19

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 0.\overline{952380} R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

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Étape 2.19.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 0.\overline{952380} R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $2, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ - 0.\overline{952380} + 0.\overline{952380} \cdot 1 & - 0.84745762 + 0.\overline{952380} \cdot - 2.75423728 & - 0.\overline{793650} + 0.\overline{952380} \cdot 0.8\overline{597883} & 0 + 0.\overline{952380} \cdot 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Étape 2.19.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ - 0.\overline{238095} & - 0.15254237 & - 0.\overline{587301} & 0 \end{array}]$

Étape 2.20

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 0.\overline{238095} R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

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Étape 2.20.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 0.\overline{238095} R_{1}$ pour faire de l’entrée sur $3, 1$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ - 0.\overline{238095} + 0.\overline{238095} \cdot 1 & - 0.15254237 + 0.\overline{238095} \cdot - 2.75423728 & - 0.\overline{587301} + 0.\overline{238095} \cdot 0.8\overline{597883} & 0 + 0.\overline{238095} \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.20.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & - 3.47054075 & 0.02519526 & 0 \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Étape 2.21

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{- 3.47054075}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

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Étape 2.21.1

Multipliez chaque élément de $R_{2}$ par $\frac{1}{- 3.47054075}$ pour faire de l’entrée sur $2, 2$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ \frac{0}{- 3.47054075} & \frac{- 3.47054075}{- 3.47054075} & \frac{0.02519526}{- 3.47054075} & \frac{0}{- 3.47054075} \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Étape 2.21.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & - 0.80831315 & - 0.38259007 & 0 \end{array}]$

Étape 2.22

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 0.80831315 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

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Étape 2.22.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{3} = R_{3} + 0.80831315 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $3, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 + 0.80831315 \cdot 0 & - 0.80831315 + 0.80831315 \cdot 1 & - 0.38259007 + 0.80831315 \cdot - 0.00725975 & 0 + 0.80831315 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 2.22.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & 0 & - 0.38845822 & 0 \end{array}]$

Étape 2.23

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{1}{- 0.38845822}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

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Étape 2.23.1

Multipliez chaque élément de $R_{3}$ par $\frac{1}{- 0.38845822}$ pour faire de l’entrée sur $3, 3$ un $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ \frac{0}{- 0.38845822} & \frac{0}{- 0.38845822} & \frac{- 0.38845822}{- 0.38845822} & \frac{0}{- 0.38845822} \end{array}]$

Étape 2.23.2

Simplifiez $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & - 0.00725975 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.24

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 0.00725975 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

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Étape 2.24.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{2} = R_{2} + 0.00725975 R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $2, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 + 0.00725975 \cdot 0 & 1 + 0.00725975 \cdot 0 & - 0.00725975 + 0.00725975 \cdot 1 & 0 + 0.00725975 \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.24.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0.8\overline{597883} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.25

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 0.8\overline{597883} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

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Étape 2.25.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} - 0.8\overline{597883} R_{3}$ pour faire de l’entrée sur $1, 3$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 & - 2.75423728 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 & 0.8\overline{597883} - 0.8\overline{597883} \cdot 1 & 0 - 0.8\overline{597883} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.25.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2.75423728 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.26

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 2.75423728 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

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Étape 2.26.1

Réalisez l’opération de ligne $R_{1} = R_{1} + 2.75423728 R_{2}$ pour faire de l’entrée sur $1, 2$ un $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2.75423728 \cdot 0 & - 2.75423728 + 2.75423728 \cdot 1 & 0 + 2.75423728 \cdot 0 & 0 + 2.75423728 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 2.26.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Étape 3

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer la solution finale au système d’équations.

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

Étape 4

Écrivez un vecteur de solution en résolvant dans les termes des variables libres sur chaque ligne.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Étape 5

Écrivez comme un ensemble de solutions.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$