Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ comme une équation.

$y = x^{2} - 2 x + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{2} - 2 y + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{2} - 2 y + 1 = x$ .

$y^{2} - 2 y + 1 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y + 1 - x = 0$

Étape 3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 1 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.7

Additionnez $0$ et $4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{x}$

Étape 3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.7

Additionnez $0$ et $4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{x}$

Étape 3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 1 + \sqrt{x}$

Étape 3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6

Soustrayez $4$ de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{0 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.7

Additionnez $0$ et $4 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.8

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.9

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{x}$

Étape 3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 1 - \sqrt{x}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{x}$

$y = 1 - \sqrt{x}$

$y = 1 + \sqrt{x}$

$y = 1 - \sqrt{x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ est l’inverse de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $1 + \sqrt{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 5.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[0, \infty)$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ se trouve sur la plage de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ est le domaine de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ , $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$ est l’inverse de $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{x}, 1 - \sqrt{x}$

Étape 6