Ensembles finis Exemples

$f (x) = x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$

Étape 1

Définissez $x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30$ égal à $0$ .

$x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez.

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Étape 2.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 5 x^{3} - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{3} - 25 x - 30$ .

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Étape 2.1.5.1

Factorisez $5$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) - 25 x - 30 = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez $5$ à partir de $- 25 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) - 30 = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez $5$ à partir de $- 30$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Étape 2.1.5.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{3}) + 5 (- 5 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6) = 0$

Étape 2.1.5.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (- x^{3} - 5 x) + 5 (- 6)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (- x^{3} - 5 x - 6) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez.

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Étape 2.1.6.1

Factorisez $- x^{3} - 5 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 2.1.6.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.6.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

$- {(- 1)}^{3} - 5 \cdot - 1 - 6$

Étape 2.1.6.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- - 1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Étape 2.1.6.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 - 5 \cdot - 1 - 6$

Étape 2.1.6.1.3.4

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$1 + 5 - 6$

Étape 2.1.6.1.3.5

Additionnez $1$ et $5$ .

$6 - 6$

Étape 2.1.6.1.3.6

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 2.1.6.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} - 5 x - 6}{x + 1}$

Étape 2.1.6.1.5

Divisez $- x^{3} - 5 x - 6$ par $x + 1$ .

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Étape 2.1.6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$5 x$

$6$

Étape 2.1.6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Étape 2.1.6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.1.6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.1.6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 2.1.6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Étape 2.1.6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$

Étape 2.1.6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.1.6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.1.6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$

Étape 2.1.6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 2.1.6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 2.1.6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	-	$6$

Étape 2.1.6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 x - 6$

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$

Étape 2.1.6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	+	$x$	-	$6$
$x$	+	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$
							-	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	+	$6$
										$0$

Étape 2.1.6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} + x - 6$

Étape 2.1.6.1.6

Écrivez $- x^{3} - 5 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 ((x + 1) (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x + 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + 5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x + 1$ à partir de $5 (x + 1) (- x^{2} + x - 6)$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x + 1$ à partir de $(x + 1) (x^{2} (x - 1)) + (x + 1) (5 (- x^{2} + x - 6))$ .

$(x + 1) (x^{2} (x - 1) + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.1.9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 1) (x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.10

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 1 x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.11

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2} + x - 6)) = 0$

Étape 2.1.12

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} + 5 (- x^{2}) + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Étape 2.1.13

Simplifiez

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Étape 2.1.13.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot - 6) = 0$

Étape 2.1.13.2

Multipliez $5$ par $- 6$ .

$(x + 1) (x^{3} - x^{2} - 5 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Étape 2.1.14

Soustrayez $5 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30) = 0$

Étape 2.1.15

Factorisez.

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Étape 2.1.15.1

Réécrivez $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x - 30$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.15.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.15.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) ((x^{3} - 6 x^{2}) + 5 x - 30) = 0$

Étape 2.1.15.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) (x^{2} (x - 6) + 5 (x - 6)) = 0$

Étape 2.1.15.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 6$ .

$(x + 1) ((x - 6) (x^{2} + 5)) = 0$

Étape 2.1.15.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 5$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x - 6) (x^{2} + 5) = 0$ vraie. La multiplicité d’une racine est le nombre de fois que la racine apparaît.

$x = - 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicité de $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - 1$ (Multiplicité de $1$ )

$x = 6$ (Multiplicité de $1$ )

$x = i \sqrt{5}$ (Multiplicité de $1$ )

$x = - i \sqrt{5}$ (Multiplicité de $1$ )

Étape 3