Ensembles finis Exemples

$(\frac{5 + \sqrt{5}}{2}, 0)$

Étape 1

Pour déterminer une fonction exponentielle, $f (x) = a^{x}$ , contenant le point, définissez $f (x)$ dans la fonction sur la valeur $y$ $0$ du point, et définissez $x$ sur la valeur $x$ $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ du point.

$0 = a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $a$ .

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Étape 2.1

Réécrivez l’équation comme $a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} = 0$

Étape 2.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.1

Simplifiez ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Multipliez $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.2

Multipliez $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.4

Simplifiez

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.1.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.5.2

Annulez le facteur commun.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.5.3

Réécrivez l’expression.

${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6

Multipliez les exposants dans ${(a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}})}^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$ .

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Étape 2.3.1.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.2

Multipliez $\frac{5 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

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Étape 2.3.1.1.6.2.1

Multipliez $\frac{5 + \sqrt{5}}{2}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$a^{\frac{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1.6.3.1

Développez $(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1.6.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a^{\frac{5 (5 - \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} (5 - \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$a^{\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.1.6.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$a^{\frac{25 + 5 (- \sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{5}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} (- \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.4

Multipliez $\sqrt{5} (- \sqrt{5})$ .

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Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.4.1

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1})}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{1 + 1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{\frac{2}{2}}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5^{1}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$a^{\frac{25 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} - 5}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.2

Soustrayez $5$ de $25$ .

$a^{\frac{20 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5}}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.3

Additionnez $- 5 \sqrt{5}$ et $5 \sqrt{5}$ .

$a^{\frac{20 + 0}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.3.2.4

Additionnez $20$ et $0$ .

$a^{\frac{20}{20}} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.6.4

Divisez $20$ par $20$ .

$a^{1} = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.1.1.7

Simplifiez

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez $0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}}}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2}{5 + \sqrt{5}} \cdot \frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}}$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $\frac{2}{5 + \sqrt{5}}$ par $\frac{5 - \sqrt{5}}{5 - \sqrt{5}}$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{(5 + \sqrt{5}) (5 - \sqrt{5})}}$

Étape 2.3.2.1.3

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{25 - 5 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 5 - {\sqrt{5}}^{2}}}$

Étape 2.3.2.1.4

Simplifiez

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{20}}$

Étape 2.3.2.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Étape 2.3.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$a = 0^{\frac{2 (5 - \sqrt{5})}{2 \cdot 10}}$

Étape 2.3.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$a = 0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}}$

Étape 3

Remplacez à nouveau chaque valeur pour $a$ dans la fonction $f (x) = a^{x}$ pour déterminer chaque fonction exponentielle possible.

$f (x) = {(0^{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}})}^{x}$