Ensembles finis Exemples

$f (t) = 2 x^{2}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, si $f$ est une fonction continue à valeur réelle sur l’intervalle $[a, b]$ et si $u$ est un nombre compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors il y a un $c$ contenu dans l’intervalle $[a, b]$ de sorte que $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Calculez $f (a) = f (0) = 2 {(0)}^{2}$ .

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Étape 3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4

Calculez $f (b) = f (2) = 2 {(2)}^{2}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par ${(2)}^{2}$ .

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Étape 4.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2}$

Étape 4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (2) = 2^{1 + 2}$

Étape 4.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (2) = 2^{3}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = 8$

Étape 5

Comme $0$ est sur l’intervalle $[0, 8]$ , résolvez l’équation pour $x$ à la racine en définissant $y$ sur $0$ dans $y = 2 x^{2}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} = 0$ .

$2 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6

Le théorème de la valeur intermédiaire indique qu’il y a une racine $f (c) = 0$ sur l’intervalle $[0, 8]$ car $f$ est une fonction continue sur $[0, 2]$ .

Les racines sur l’intervalle $[0, 2]$ se situent sur $x = 0$ .

Étape 7