Ensembles finis Exemples

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} + \frac{2}{x - i y}$

Étape 1

Pour écrire $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{2}{x - i y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}} \cdot \frac{x - i y}{x - i y} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{{(1 + i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ par $\frac{x - i y}{x - i y}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2}{x - i y} \cdot \frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{2}{x - i y}$ par $\frac{{(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{(x - i y) {(1 - i)}^{2}}$

Étape 3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - i y) {(1 - i)}^{2}$ .

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)} + \frac{2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5

Réécrivez $\frac{{(1 + i)}^{2} (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$ en forme factorisée.

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Étape 5.1

Réécrivez ${(1 + i)}^{2}$ comme $(1 + i) (1 + i)$ .

$\frac{(1 + i) (1 + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.2

Développez $(1 + i) (1 + i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 (1 + i) + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{(1 + 1 i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.2

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{(1 + i + i \cdot 1 + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.4

Multipliez $i i$ .

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Étape 5.3.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{1} i^{1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(1 + i + i + i^{1 + 1}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(1 + i + i + i^{2}) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{(1 + i + i - 1) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(0 + i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{(i + i) (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.3.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2 i (x - i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i x + 2 i (- i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.5

Multipliez $2 i (- i y)$ .

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Étape 5.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 i x - 2 i (i y) + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.5.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.5.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i x - 2 (i^{1} i^{1}) y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i x - 2 i^{1 + 1} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i x - 2 i^{2} y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i x - 2 \cdot - 1 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 {(1 - i)}^{2}}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.7

Réécrivez ${(1 - i)}^{2}$ comme $(1 - i) (1 - i)$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 ((1 - i) (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.8

Développez $(1 - i) (1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 (1 - i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i (1 - i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 + 1 (- i) - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.2

Multipliez $- i$ par $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i \cdot 1 - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - i (- i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.4

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 5.9.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 (i^{1} i^{1}))}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{1 + 1})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + 1 i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.4.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i + i^{2})}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (1 - i - i - 1)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (0 - i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.3

Soustrayez $i$ de $0$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- i - i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.9.4

Soustrayez $i$ de $- i$ .

$\frac{2 i x + 2 y + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.10

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{2 i x + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.11

Factorisez $2$ à partir de $2 i x + 2 y - 4 i$ .

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Étape 5.11.1

Factorisez $2$ à partir de $2 i x$ .

$\frac{2 (i x) + 2 y - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.11.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{2 (i x) + 2 (y) - 4 i}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.11.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 i$ .

$\frac{2 (i x) + 2 (y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.11.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (i x) + 2 (y)$ .

$\frac{2 (i x + y) + 2 (- 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$

Étape 5.11.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (i x + y) + 2 (- 2 i)$ .

$\frac{2 (i x + y - 2 i)}{{(1 - i)}^{2} (x - i y)}$