Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{6}{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int \frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{6}{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{3}{x^{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3 \int x^{- 5} d x + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$3 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$3 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 6.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{2}} d x) + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 9

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 9.2

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 9.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 9.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 9.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 \int x^{- 2} d x + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) + \int - \frac{6}{x} d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - \int \frac{6}{x} d x$

Étape 12

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - (6 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 13

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - 6 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 14

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 (- x^{- 1} + C) - 6 (\ln (| x |) + C)$

Étape 15

Simplifiez

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{2}{x} - 6 \ln (| x |) + C$