Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{3} + 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 1)}^{2})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} + 1$ .

$2 (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$2 (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 (x^{3} + 1) x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(6 x^{3} + 6 \cdot 1) x^{2}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$6 x^{3} x^{2} + 6 \cdot 1 x^{2}$

Étape 3.3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.3.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x^{3}) + 6 \cdot 1 x^{2}$

Étape 3.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 x^{2 + 3} + 6 \cdot 1 x^{2}$

Étape 3.3.3.1.3

Additionnez $2$ et $3$ .

$6 x^{5} + 6 \cdot 1 x^{2}$

Étape 3.3.3.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 x^{5} + 6 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 6 x^{5} + 6 x^{2}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{5} + 6 x^{2}$