Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{1}^{2} x^{- 2} d x + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{4}{x^{3}} d x$

Étape 6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - (4 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Étape 7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} d x$

Étape 7.2

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Étape 7.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{3 \cdot - 1} d x$

Étape 7.3.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{- 3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{2})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez

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Étape 9.1.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{2})$

Étape 9.1.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1}]_{1}^{2} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{2})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(- 2^{- 1}) + 1^{- 1} - 4 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{2})$

Étape 9.2.2

Évaluez $- \frac{1}{2 x^{2}}$ sur $2$ et sur $1$ .

$(- 2^{- 1}) + 1^{- 1} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} + 1^{- 1} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} + 1 - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{2} - 4 ((- \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

Étape 9.2.3.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

Étape 9.2.3.10

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

Étape 9.2.3.11

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.2.3.11.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

Étape 9.2.3.11.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

Étape 9.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} - 4 \frac{- 1 + 4}{8}$

Étape 9.2.3.13

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$\frac{1}{2} - 4 (\frac{3}{8})$

Étape 9.2.3.14

Associez $- 4$ et $\frac{3}{8}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 3}{8}$

Étape 9.2.3.15

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 12}{8}$

Étape 9.2.3.16

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $8$ .

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Étape 9.2.3.16.1

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4 (- 3)}{8}$

Étape 9.2.3.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.16.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 2}$

Étape 9.2.3.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 9.2.3.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 9.2.3.18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 3}{2}$

Étape 9.2.3.19

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{2}$

Étape 9.2.3.20

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 9.2.3.20.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2}$

Étape 9.2.3.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.20.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Étape 9.2.3.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 9.2.3.20.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 10