Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 10 - 6 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Remettez dans l’ordre $10$ et $- 6 x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 6 x^{2} + 10}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Étape 1.1.2.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est l’infini négatif.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + 3 e^{x}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Étape 1.1.3.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $3$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $3$ retiré.

$\frac{- \infty}{5 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.1.3.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{5 + \infty}$

Étape 1.1.3.3

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{10 - 6 x^{2}}{5 + 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10 - 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 - 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.3

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 6 (2 x)}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $12 x$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5 + 3 e^{x}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 + 3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Étape 1.3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{0 + 3 e^{x}}$

Étape 1.3.9

Additionnez $0$ et $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 12 x}{3 e^{x}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $3$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 (e^{x})}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 4 x)}{3 e^{x}}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 4 x}{e^{x}}$

Étape 2

Placez le terme $- 4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$- 4 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$- 4 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$- 4 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{e^{x}}$ approche de $0$ .

$- 4 \cdot 0$

Étape 5

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$0$