Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sqrt{x^{2}} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \sqrt{x^{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \sqrt{x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$f'' (x) = 2$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2$ .

$2$