Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{2}^{3} \frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\int_{2}^{3} \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} d x$

Étape 2

Laissez $x = \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Simplifiez $\sqrt{{(\sec^{2} (t) - 1)}^{3}}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t))}^{3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(\tan^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\sqrt{{\tan (t)}^{2 \cdot 3}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\sqrt{\tan^{6} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.3

Réécrivez $\tan^{6} (t)$ comme ${(\tan^{3} (t))}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{3} (t))}^{2}}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\tan^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (t)$ .

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Étape 3.2.1.1

Factorisez $\tan (t)$ à partir de $\tan^{3} (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 3.2.1.2

Factorisez $\tan (t)$ à partir de $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\tan (t) \tan^{2} (t)} (\tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{1}{\tan^{2} (t)} \sec (t) d t$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{1}{\tan^{2} (t)}$ et $\sec (t)$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez $\sec (x)$ comme $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

Étape 4.2

Appliquez l’identité réciproque.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3.2

Associez.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3.3

Multipliez $\csc (t)$ par $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

Étape 4.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.5

Associez $\cot (t)$ et $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.6

Réduisez l’expression $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.6.1

Multipliez par $1$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

Étape 4.3.6.2

Factorisez $\cot (t)$ à partir de ${\cot (t)}^{2}$ .

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 4.3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

Étape 4.3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

Étape 4.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\int_{\frac{π}{3}}^{1.23095941} \csc (t) \cot (t) d t$

Étape 5

Comme la dérivée de $- \csc (t)$ est $\csc (t) \cot (t)$ , l’intégrale de $\csc (t) \cot (t)$ est $- \csc (t)$ .

$- \csc (t)]_{\frac{π}{3}}^{1.23095941}$

Étape 6

Évaluez $- \csc (t)$ sur $1.23095941$ et sur $\frac{π}{3}$ .

$- \csc (1.23095941) + \csc (\frac{π}{3})$

Étape 7

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{3})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \csc (1.23095941) + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Forme décimale :

$0.09404036 \dots$

Étape 10