Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $θ$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sqrt{2} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $\sqrt{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \cos (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{4}} 1}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $θ$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \cos (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.3.3.1.2.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.1.3.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{0}{\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{\frac{2^{1}}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{0}{\frac{2}{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (2 θ)}{\sqrt{2} \cos (θ) - 1} = lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.6

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ) - 1]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{2} \cos (θ) - 1$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\sqrt{2} \cos (θ)]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $\sqrt{2}$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\sqrt{2} \cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Étape 1.3.8.2

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 1]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ)) + 0}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Additionnez $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ et $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{\sqrt{2} (- \sin (θ))}$

Étape 1.3.10.2

Réorganisez les facteurs de $\sqrt{2} (- \sin (θ))$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{- 2 \sin (2 θ)}{- \sqrt{2} \sin (θ)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{- 2}{\sqrt{2}}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} lim_{θ \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (2 θ)}{- \sin (θ)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{4}} - \sin (θ)}$

Étape 2.5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- lim_{θ \to \frac{π}{4}} \sin (θ)}$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (lim_{θ \to \frac{π}{4}} θ)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $θ$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{4})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.5.1.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.5.1.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{2} \frac{\sin (\frac{π}{2})}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.5.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \sin (\frac{π}{4})}$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.7.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- \sqrt{2} \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \sqrt{2} (- \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Étape 4.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{2} (- (1 \frac{2}{\sqrt{2}}))$

Étape 4.9

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$- \sqrt{2} (- \frac{2}{\sqrt{2}})$

Étape 4.10

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 4.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{\sqrt{2}}$ dans le numérateur.

$- \sqrt{2} \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.10.2

Factorisez $\sqrt{2}$ à partir de $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.10.3

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{2} \cdot - 1 \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.10.4

Réécrivez l’expression.

$- - 2$

Étape 4.11

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2$