Calcul infinitésimal Exemples

$\arcsin (x) = \ln (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\arcsin (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Étape 2

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \frac{y'}{y}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Étape 5.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Simplifiez $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} y$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} y$

Étape 5.3.2.1.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Étape 5.3.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Étape 5.3.2.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Étape 5.3.2.1.3.2

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} y$

Étape 5.3.2.1.3.3

Élevez $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à la puissance $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} y$

Étape 5.3.2.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} y$

Étape 5.3.2.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} y$

Étape 5.3.2.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 5.3.2.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} y$

Étape 5.3.2.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} y$

Étape 5.3.2.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Étape 5.3.2.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} y$

Étape 5.3.2.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} y$

Étape 5.3.2.1.3.6.5

Simplifiez

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} y$

Étape 5.3.2.1.4

Associez $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ et $y$ .

$y' = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} y}{(1 + x) (1 - x)}$