Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sin (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - \cos (x) (2 x) d x$

Étape 2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) - \int - 2 \cos (x) x d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{2} (- \cos (x)) - (- 2 \int \cos (x) x d x)$

Étape 4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 \int \cos (x) x d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $x^{2} (- \cos (x)) + 2 (x \sin (x) - (- \cos (x) + C))$ comme $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) - - \cos (x)) + C$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + 1 \cos (x)) + C$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$

Étape 7.2

Réécrivez $- x^{2} \cos (x) + 2 (x \sin (x) + \cos (x)) + C$ comme $- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C$ .

$- x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x) + C$