Calcul infinitésimal Exemples

$y = {\cos (x)}^{x}$

Étape 1

Laissez $y = f (x)$ , prenez le logarithme naturel des deux côtés $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({\cos (x)}^{x})$

Étape 2

Développez $\ln ({\cos (x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (y) = x \ln (\cos (x))$

Étape 3

Différenciez l’expression en utilisant la règle d’enchaînement, sans oublier que $y$ est une fonction de $x$ .

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Étape 3.1

Différenciez le côté gauche de $\ln (y)$ en utilisant la règle d’enchaînement.

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (x))$

Étape 3.2

Différenciez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Différenciez $x \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (x))]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.2.6.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \cdot 1$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $\ln (\cos (x))$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = x (\sec (x) (- \sin (x))) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7

Simplifiez

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Étape 3.2.7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{y'}{y} = - x \sec (x) \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.7.2.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y'}{y} = - x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7.2.2

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $x$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{x}{\cos (x)} \sin (x) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7.2.3

Associez $\sin (x)$ et $\frac{x}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.7.3.1

Séparez les fractions.

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7.3.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{y'}{y} = - (\frac{x}{1} \tan (x)) + \ln (\cos (x))$

Étape 3.2.7.3.3

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} = - x \tan (x) + \ln (\cos (x))$

Étape 4

Isolez $y'$ et remplacez la fonction d’origine pour $y$ du côté droit.

$y' = (- x \tan (x) + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.1.2

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $x$ .

$y' = (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} + \ln (\cos (x))) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' = - \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} {\cos (x)}^{x} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.3

Associez ${\cos (x)}^{x}$ et $\frac{\sin (x) x}{\cos (x)}$ .

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun à ${\cos (x)}^{x}$ et $\cos (x)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de ${\cos (x)}^{x} (\sin (x) x)$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x)} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{\cos (x) ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x))}{\cos (x) \cdot 1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{{\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)}{1} + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.4.2.4

Divisez ${\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)$ par $1$ .

$y' = - ({\cos (x)}^{x - 1} (\sin (x) x)) + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

$y' = - {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$

Étape 5.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) x + \ln (\cos (x)) {\cos (x)}^{x}$ .

$y' = - x {\cos (x)}^{x - 1} \sin (x) + {\cos (x)}^{x} \ln (\cos (x))$