Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{16 x^{4} - 5 x^{2}}}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{4} - 5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2}) - 5 x^{2}}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (16 x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} (16 x^{2} - 5)}}$

Étape 1.2

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{\sqrt{x^{2} ({(4 x)}^{2} - 5)}}$

Étape 1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{{(4 x)}^{2} - 5}}$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{4^{2} x^{2} - 5}}$

Étape 1.5

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 x^{2} + 6 x}{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.1.2

Divisez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6 x}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6}{x}}{\frac{x \sqrt{16 x^{2} - 5}}{x^{2}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{5 + \frac{6}{x}}{\frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 5 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + lim_{x \to - \infty} \frac{6}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Étape 3.6

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 6 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 5}}{x}}$

Étape 5

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $16$ par $1$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 + \frac{- 5}{x^{2}}}}{1}}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{1}}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 6.4

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 6.5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 6.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 6.7

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 6.8

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{\frac{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}{1}}$

Étape 8.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.2.1

Divisez $- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}$ par $1$ .

$\frac{5 + 6 \cdot 0}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Étape 8.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{5 + 0}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Étape 8.2.2.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16 - 5 \cdot 0}}$

Étape 8.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.3.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16 + 0}}$

Étape 8.2.3.2

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{5}{- \sqrt{16}}$

Étape 8.2.3.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{5}{- \sqrt{4^{2}}}$

Étape 8.2.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5}{- 1 \cdot 4}$

Étape 8.2.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{5}{- 4}$

Étape 8.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{4}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5}{4}$

Forme décimale :

$- 1.25$