Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\ln (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\ln (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{\ln (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{\ln (x)})$ en déplaçant $\ln (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Étape 3.2

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Étape 3.3

Élevez $\ln (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln^{2} (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Étape 3.8

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{1}{x})$

Étape 3.9

Associez les fractions.

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Étape 3.9.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $2$ .

$e^{\ln^{2} (x)} (\frac{2}{x} \ln (x))$

Étape 3.9.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\ln (x)$ .

$e^{\ln^{2} (x)} \frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 3.9.3

Associez $e^{\ln^{2} (x)}$ et $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x))}{x}$

Étape 3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.10.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Étape 3.10.2

Multipliez $2 e^{\ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

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Étape 3.10.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln (x)$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Étape 3.10.2.2

Simplifiez $2 \cdot \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Étape 3.10.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (x^{2}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{2})}{x}$