Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (2 θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sin^{2} (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{1 - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ)}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2}}$

Étape 1.1.3.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{0}{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{0}{\cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\sin^{2} (2 θ)}{1 - \sin^{2} (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 θ$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) (\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 θ) \cos (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.8

Réorganisez les facteurs de $4 \sin (2 θ) \cos (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1 - \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin^{2} (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.11

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \sin^{2} (θ)]$ .

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Étape 1.3.11.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \sin^{2} (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]}$

Étape 1.3.11.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Étape 1.3.11.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Étape 1.3.11.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Étape 1.3.11.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])}$

Étape 1.3.11.3

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - (2 \sin (θ) \cos (θ))}$

Étape 1.3.11.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{0 - 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Étape 1.3.12

Simplifiez

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Étape 1.3.12.1

Soustrayez $2 \sin (θ) \cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \sin (θ) \cos (θ)}$

Étape 1.3.12.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (θ) \cos (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $- 2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \cos (2 θ) \sin (2 θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{- 2 \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 (2 \cos (2 θ) \sin (2 θ))}{2 (- \cos (θ) \sin (θ))}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{\cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 3.1.2.6.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.6.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.7.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\cos (2 \frac{π}{2}) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{\cos (π) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$2 \frac{- \cos (0) \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.7.5.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (2 \frac{π}{2})}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (π)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 \frac{- 1 \cdot \sin (0)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \frac{- 1 \cdot 0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.2.7.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} - \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \sin (θ)}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{0}{- lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ)}$

Étape 3.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{0}{- \cos (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 3.1.3.5.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 3.1.3.5.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{0}{- \cos (\frac{π}{2}) \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.6.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 \frac{0}{- 0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 3.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot \sin (\frac{π}{2})}$

Étape 3.1.3.6.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$2 \frac{0}{0 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.6.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \sin (2 θ)}{- \cos (θ) \sin (θ)} = lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (2 θ) \sin (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \cos (2 θ)$ et $g (θ) = \sin (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (2 θ)] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sin (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.4

Élevez $\cos (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.5

Élevez $\cos (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{1} (2 θ) \cos^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{{\cos (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ] + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{\cos^{2} (2 θ) \cdot 2 + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (2 θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [\cos (2 θ)]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 3.3.12.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.12.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.12.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 θ$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) + \sin (2 θ) \cdot - 1 \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.13

Élevez $\sin (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.14

Élevez $\sin (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{1} (2 θ) \sin^{1} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - {\sin (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.17

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - \sin^{2} (2 θ) \cdot 2 \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.18

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ) \cdot 1}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.20

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\frac{d}{d θ} [- \cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.21

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \cos (θ) \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]}$

Étape 3.3.22

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \cos (θ)$ et $g (θ) = \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Étape 3.3.23

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Étape 3.3.24

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Étape 3.3.25

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Étape 3.3.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Étape 3.3.27

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])}$

Étape 3.3.28

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \sin (θ))}$

Étape 3.3.29

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin (θ))}$

Étape 3.3.30

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))}$

Étape 3.3.31

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1})}$

Étape 3.3.32

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))}$

Étape 3.3.33

Simplifiez

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Étape 3.3.33.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) - - 1 \sin^{2} (θ)}$

Étape 3.3.33.2

Associez des termes.

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Étape 3.3.33.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + 1 \sin^{2} (θ)}$

Étape 3.3.33.2.2

Multipliez $\sin^{2} (θ)$ par $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{- \cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)}$

Étape 3.3.33.3

Remettez dans l’ordre $- \cos^{2} (θ)$ et $\sin^{2} (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 3.3.33.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (θ)$ et $b = \cos (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Étape 3.3.33.5

Développez $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.33.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Étape 3.3.33.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))}$

Étape 3.3.33.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cdot - 1 \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.6

Associez les termes opposés dans $\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

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Étape 3.3.33.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\sin (θ) (- \cos (θ))$ et $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.6.2

Additionnez $- \cos (θ) \sin (θ)$ et $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + 0 + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.6.3

Additionnez $\sin (θ) \sin (θ)$ et $0$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.33.7.1

Multipliez $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Étape 3.3.33.7.1.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7.1.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \cdot - 1 \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos (θ) \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7.3

Multipliez $- \cos (θ) \cos (θ)$ .

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Étape 3.3.33.7.3.1

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos (θ)}$

Étape 3.3.33.7.3.2

Élevez $\cos (θ)$ à la puissance $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}$

Étape 3.3.33.7.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - {\cos (θ)}^{1 + 1}}$

Étape 3.3.33.7.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (2 θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (2 θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{2 \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.8

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (2 θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (2 θ))}^{2}}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.9

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} 2 θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.10

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.12

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{{(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \sin (θ))}^{2} - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos^{2} (θ)}$

Étape 4.14

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - {(lim_{θ \to \frac{π}{2}} \cos (θ))}^{2}}$

Étape 4.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (lim_{θ \to \frac{π}{2}} θ)}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 \cos^{2} (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{2 \cos^{2} (π) - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.2

$2 \frac{2 {(- \cos (0))}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1 \cdot 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 \frac{2 {(- 1)}^{2} - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 \frac{2 \cdot 1 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (2 \frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.7.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (π)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.8

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$2 \frac{2 - 2 \sin^{2} (0)}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.9

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0^{2}}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \frac{2 - 2 \cdot 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.11

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$2 \frac{2 + 0}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.1.12

Additionnez $2$ et $0$ .

$2 \frac{2}{\sin^{2} (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$2 \frac{2}{1^{2} - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \frac{2}{1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 6.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0^{2}}$

Étape 6.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \frac{2}{1 - 0}$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 \frac{2}{1 + 0}$

Étape 6.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (\frac{2}{1})$

Étape 6.3

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \cdot 2$

Étape 6.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$4$