Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \sqrt{36 - x^{2}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{36 - x^{2}}$ comme ${(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 36 - x^{2}$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $36 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $36 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8

Associez les fractions.

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Étape 8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.3

Placez ${(36 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 8.4

Associez $\frac{1}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [36 - x^{2}] + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 10

Comme $36$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 11

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14

Associez les fractions.

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Étape 14.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.2

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 14.3

Associez $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 15

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 17

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{- 2 x^{3}}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 18

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 20

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 21

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Étape 22

Remettez dans l’ordre.

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Étape 22.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(36 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Étape 22.2

Déplacez ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 23

Pour écrire $2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 24

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25

Multipliez ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 25.1

Déplacez ${(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 25.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 36)}^{1}}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 26

Simplifiez $2 x {(- x^{2} + 36)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 36)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27

Simplifiez

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Étape 27.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 27.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 27.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 27.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 27.2.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 36}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.1.4

Multipliez $36$ par $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 72 x}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 72 x}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.3

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x^{3} + 72 x$ .

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Étape 27.3.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{3 x (- x^{2}) + 72 x}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.3.2

Factorisez $3 x$ à partir de $72 x$ .

$\frac{3 x (- x^{2}) + 3 x (24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.3.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- x^{2}) + 3 x (24)$ .

$\frac{3 x (- x^{2} + 24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{3 x (- (x^{2}) + 24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.5

Réécrivez $24$ comme $- 1 (- 24)$ .

$\frac{3 x (- (x^{2}) - 1 (- 24))}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- 24)$ .

$\frac{3 x (- (x^{2} - 24))}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.7

Réécrivez $- (x^{2} - 24)$ comme $- 1 (x^{2} - 24)$ .

$\frac{3 x (- 1 (x^{2} - 24))}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 27.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(3 x) (x^{2} - 24)}{{(- x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$