Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Étape 2

Multipliez $(3 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 (x^{- 2} x^{2}) - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{0}^{2} 3 x^{- 2 + 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.1.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\int_{0}^{2} 3 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.2

Simplifiez $3 x^{0}$ .

$\int_{0}^{2} 3 - 1 x^{- 2} d x$

Étape 3.3

Réécrivez $- 1 x^{- 2}$ comme $- x^{- 2}$ .

$\int_{0}^{2} 3 - x^{- 2} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{2} 3 d x + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$3 x]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - x^{- 2} d x$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 x]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} x^{- 2} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$3 x]_{0}^{2} - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $3 x$ sur $2$ et sur $0$ .

$(3 \cdot 2) - 3 \cdot 0 - (- x^{- 1}]_{0}^{2})$

Étape 8.2

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $0$ .

$3 \cdot 2 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 - 3 \cdot 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Étape 8.3.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$6 + 0 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Étape 8.3.3

Additionnez $6$ et $0$ .

$6 - (- 2^{- 1} + 0^{- 1})$

Étape 8.3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{2} + 0^{- 1})$

Étape 8.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Étape 8.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Étape 8.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 - (- \frac{1}{2} + \frac{1}{0})$

Étape 9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini