Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{4} + lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{4} + 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - 3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{4} + 2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 - 3 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 + 2 - 3 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8.1.5

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$\frac{1 + 2 - 3}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.2.8.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{3} - 1^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{3} - x^{2}} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 3 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.5.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - (2 x)}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 x^{3} + 6 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 4 x^{3} + lim_{x \to 1} 6 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.3

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 6 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 6 x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 6 x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.7

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - 2 x}$

Étape 2.8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} 3 x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Étape 2.9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Étape 2.10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2 x}$

Étape 2.11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 lim_{x \to 1} x}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 lim_{x \to 1} x}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{4 \cdot 1^{3} + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 \cdot 1 + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 + 6 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 + 6 \cdot 1 - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{4 + 6 - 6 \cdot 1}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$\frac{4 + 6 - 6}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.6

Additionnez $4$ et $6$ .

$\frac{10 - 6}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.1.7

Soustrayez $6$ de $10$ .

$\frac{4}{3 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{3 \cdot 1 - 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{4}{3 - 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{4}{3 - 2}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{4}{1}$

Étape 4.3

Divisez $4$ par $1$ .

$4$