Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{\sqrt{x}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.9

Associez $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$