Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Étape 1

Réécrivez $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ comme $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 3.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Étape 3.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3.4.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3.5

Soustrayez $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 3.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 2}$ et $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Étape 3.1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Étape 3.1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Étape 3.1.3.7

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Étape 3.1.3.8

Simplifiez

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Étape 3.1.3.8.1

Réorganisez les facteurs de $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 3.1.3.8.2

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 3.1.3.8.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 3.1.3.8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 3.1.3.8.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 3.1.3.8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 3.1.3.8.7

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Étape 3.1.3.8.8

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Étape 3.1.3.8.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.3.8.10

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (θ)$ .

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Étape 3.1.3.8.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ dans le numérateur.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.3.8.10.2

Factorisez $\cos^{2} (θ)$ à partir de $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.3.8.10.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.3.8.10.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.3.8.11

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.3.8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Étape 3.1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 3.1.5.3

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 3.1.6

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Étape 3.2

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Étape 3.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Étape 3.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.4.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Étape 3.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 3.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 5.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Étape 5.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Étape 5.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.2

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

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Étape 5.1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3.4.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3.5

Soustrayez $\cos (θ)$ de $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Étape 5.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 2}$ et $g (θ) = \tan (θ)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Étape 5.1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Étape 5.1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Étape 5.1.3.7

La dérivée de $\tan (θ)$ par rapport à $θ$ est $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Étape 5.1.3.8

Simplifiez

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Étape 5.1.3.8.1

Réorganisez les facteurs de $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 5.1.3.8.2

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 5.1.3.8.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 5.1.3.8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 5.1.3.8.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 5.1.3.8.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Étape 5.1.3.8.7

Réécrivez $\tan (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Étape 5.1.3.8.8

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Étape 5.1.3.8.9

Appliquez la règle de produit à $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.3.8.10

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (θ)$ .

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Étape 5.1.3.8.10.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ dans le numérateur.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.3.8.10.2

Factorisez $\cos^{2} (θ)$ à partir de $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.3.8.10.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.3.8.10.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.3.8.11

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.3.8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Étape 5.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Étape 5.1.5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $\cos (θ)$ par $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 5.1.5.3

Associez $\cos (θ)$ et $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 5.1.6

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 5.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Étape 5.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Étape 5.2

Évaluez la limite.

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Étape 5.2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Étape 5.2.2

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (θ)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Étape 5.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $θ$ .

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Étape 5.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.4.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Étape 5.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 5.4.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$