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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2
Évaluez .
Étape 1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.2.3
Associez et .
Étape 1.2.4
Associez et .
Étape 1.3
Évaluez .
Étape 1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.3.4
Associez et .
Étape 1.3.5
Associez et .
Étape 1.3.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.4
Évaluez .
Étape 1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.4.3
Multipliez par .
Étape 1.5
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 1.5.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.5.2
Additionnez et .
Étape 2
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3
Associez et .
Étape 2.2.4
Multipliez par .
Étape 2.2.5
Associez et .
Étape 2.3
Évaluez .
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 2.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 2.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.4.2
Additionnez et .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 4.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2
Évaluez .
Étape 4.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.2.3
Associez et .
Étape 4.1.2.4
Associez et .
Étape 4.1.3
Évaluez .
Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.1.3.4
Associez et .
Étape 4.1.3.5
Associez et .
Étape 4.1.3.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.1.4
Évaluez .
Étape 4.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.4.3
Multipliez par .
Étape 4.1.5
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 4.1.5.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.5.2
Additionnez et .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Étape 5.2.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.2.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.2.1.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.2.2.1.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.1.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.2.2.1.2.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 5.2.2.1.2.2
Factorisez à partir de .
Étape 5.2.2.1.2.3
Annulez le facteur commun.
Étape 5.2.2.1.2.4
Réécrivez l’expression.
Étape 5.2.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.2.3.1
Multipliez par .
Étape 5.3
Factorisez par regroupement.
Étape 5.3.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Étape 5.3.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.3.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 5.3.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.3.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 5.3.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 5.3.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 5.3.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 5.4
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 5.5
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.5.1
Définissez égal à .
Étape 5.5.2
Résolvez pour .
Étape 5.5.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 5.5.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 5.5.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 5.5.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 5.5.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 5.5.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 5.5.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 5.5.2.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 5.5.2.2.3.1
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.6
Définissez égal à et résolvez .
Étape 5.6.1
Définissez égal à .
Étape 5.6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 5.7
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 6
Étape 6.1
Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Étape 9.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 9.1.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 9.1.1.1
Multipliez par .
Étape 9.1.1.2
Associez et .
Étape 9.1.2
Multipliez par .
Étape 9.1.3
Divisez par .
Étape 9.1.4
Annulez le facteur commun à et .
Étape 9.1.4.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.4.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 9.1.4.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 9.1.4.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 9.1.4.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 9.1.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 9.2
Associez les fractions.
Étape 9.2.1
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 9.2.2
Simplifiez l’expression.
Étape 9.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 9.2.2.2
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 10
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 11
Étape 11.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 11.2
Simplifiez le résultat.
Étape 11.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 11.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Étape 11.2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 11.2.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 11.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.3
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.4
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 11.2.1.5.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 11.2.1.5.2
Factorisez à partir de .
Étape 11.2.1.5.3
Annulez le facteur commun.
Étape 11.2.1.5.4
Réécrivez l’expression.
Étape 11.2.1.6
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 11.2.1.7
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
Étape 11.2.1.7.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 11.2.1.7.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 11.2.1.8
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 11.2.1.8.1
Déplacez .
Étape 11.2.1.8.2
Multipliez par .
Étape 11.2.1.8.2.1
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.8.2.2
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 11.2.1.8.3
Additionnez et .
Étape 11.2.1.9
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.10
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.11
Élevez à la puissance .
Étape 11.2.1.12
Annulez le facteur commun de .
Étape 11.2.1.12.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 11.2.1.12.2
Factorisez à partir de .
Étape 11.2.1.12.3
Annulez le facteur commun.
Étape 11.2.1.12.4
Réécrivez l’expression.
Étape 11.2.1.13
Réécrivez comme .
Étape 11.2.1.14
Multipliez .
Étape 11.2.1.14.1
Multipliez par .
Étape 11.2.1.14.2
Multipliez par .
Étape 11.2.2
Déterminez le dénominateur commun.
Étape 11.2.2.1
Multipliez par .
Étape 11.2.2.2
Multipliez par .
Étape 11.2.2.3
Multipliez par .
Étape 11.2.2.4
Multipliez par .
Étape 11.2.2.5
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 11.2.2.6
Multipliez par .
Étape 11.2.2.7
Multipliez par .
Étape 11.2.2.8
Réorganisez les facteurs de .
Étape 11.2.2.9
Multipliez par .
Étape 11.2.2.10
Multipliez par .
Étape 11.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 11.2.4
Simplifiez chaque terme.
Étape 11.2.4.1
Multipliez par .
Étape 11.2.4.2
Multipliez par .
Étape 11.2.4.3
Multipliez par .
Étape 11.2.5
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Étape 11.2.5.1
Soustrayez de .
Étape 11.2.5.2
Additionnez et .
Étape 11.2.5.3
Additionnez et .
Étape 11.2.6
La réponse finale est .
Étape 12
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 13
Étape 13.1
Multipliez par .
Étape 13.2
Annulez le facteur commun à et .
Étape 13.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.2.2
Annulez les facteurs communs.
Étape 13.2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 13.2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 13.2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 13.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 13.4
Soustrayez de .
Étape 14
est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.
est un minimum local
Étape 15
Étape 15.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2
Simplifiez le résultat.
Étape 15.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 15.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 15.2.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 15.2.1.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 15.2.1.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 15.2.1.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 15.2.1.3
Annulez le facteur commun de .
Étape 15.2.1.3.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 15.2.1.3.2
Factorisez à partir de .
Étape 15.2.1.3.3
Annulez le facteur commun.
Étape 15.2.1.3.4
Réécrivez l’expression.
Étape 15.2.1.4
Multipliez par .
Étape 15.2.1.5
Multipliez par .
Étape 15.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
Étape 15.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 15.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 15.2.2.3
Additionnez et .
Étape 15.2.3
La réponse finale est .
Étape 16
Ce sont les extrema locaux pour .
est un maximum local
est un minimum local
Étape 17