Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + \sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + x^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 1.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7

Différenciez.

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.2

Associez les fractions.

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.2.2

Placez ${(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 13

Associez les fractions.

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Étape 13.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 13.3

Placez ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}])$

Étape 14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

Étape 15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]))$

Étape 16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 17

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 18

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 20.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 20.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 21

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 22

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}))$

Étape 23

Simplifiez l’expression.

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Étape 23.1

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$

Étape 23.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))$ .

$(1 + \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})) \frac{1}{2 {(x + {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}}$