Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} \cdot 2 x d x$

Étape 1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 5)}^{3}$ .

$\int 2 {(x^{2} + 5)}^{3} x d x$

Étape 2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int {(x^{2} + 5)}^{3} x d x$

Étape 3

Laissez $u = x^{2} + 5$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = x^{2} + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $x^{2} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 5]$

Étape 3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 3.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int u^{3} \frac{1}{2} d u$

Étape 4

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int u^{3} d u)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int u^{3} d u$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int u^{3} d u$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int u^{3} d u$

Étape 6.3

Multipliez $\int u^{3} d u$ par $1$ .

$\int u^{3} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 5$ .

$\frac{1}{4} {(x^{2} + 5)}^{4} + C$