Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{8} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8} - 5 x^{3}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} - 5 x^{3}}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{3} (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 1.2

Réécrivez $x^{3} (x^{5} - 5)$ comme $x^{2} (x (x^{5} - 5))$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 1.2.2

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (x (x^{5} - 5))}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{3 x^{4} + 4}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{x (x^{5} - 5)}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x^{4}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{x (x^{5} - 5)})}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x \sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x \cdot x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{\frac{3 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 4

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 4.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1} x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{1 + 5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{6} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 5.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{6} - 5 x$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} - 5 x}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 5.3.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (x^{5} - 5)}}{x^{3}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x^{6}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 8

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 9.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 9.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x^{5} - 5}{x^{5}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 10

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{5}$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11

Évaluez la limite.

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Étape 11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 11.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x^{5}}{x^{5}} + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{- 5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 - \frac{5}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 11.6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 12

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{5}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 13

Évaluez la limite.

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 13.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 13.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{4}{x^{4}}}$

Étape 13.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Étape 14

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{\frac{1 - 5 \cdot 0}{1}}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Divisez $1 - 5 \cdot 0$ par $1$ .

$\frac{\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Étape 15.2

Divisez $- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}$ par $1$ .

$\frac{- \sqrt{1 - 5 \cdot 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

Étape 15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.3.1

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{3 + 4 \cdot 0}$

Étape 15.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{3 + 4 \cdot 0}$

Étape 15.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 4 \cdot 0}$

Étape 15.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.4.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3 + 0}$

Étape 15.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Étape 15.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Étape 15.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{3}$