Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 1

Divisez l’intégrale sur $0$ et écrivez sous la forme d’une somme de limites.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1 + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{t}^{0}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 4

Évaluez $\arctan (x)$ sur $0$ et sur $t$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x)]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{0}^{t}$

Étape 7

Évaluez $\arctan (x)$ sur $t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Étape 8

Évaluez les limites.

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Étape 8.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$lim_{t \to - \infty} \arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $\arctan (0)$ qui est constante lorsque $t$ approche de $- \infty$ .

$\arctan (0) - lim_{t \to - \infty} \arctan (t) + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Étape 8.3

La limite lorsque $t$ approche de $- \infty$ est $- \frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (0)$

Étape 8.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Étape 8.5

La limite lorsque $t$ approche de $\infty$ est $\frac{π}{2}$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0)$

Étape 8.6

Évaluez la limite de $\arctan (0)$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$\arctan (0) + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Étape 8.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.7.1.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$0 + 1 \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Étape 8.7.1.2

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - \arctan (0)$

Étape 8.7.1.3

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} - 0$

Étape 8.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + \frac{π}{2} + \frac{π}{2} + 0$

Étape 8.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π}{2}$

Étape 8.7.3

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 8.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$π$

Forme décimale :

$3.14159265 \dots$