Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} (\frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t) d t$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{4} \frac{4}{5} t^{3} - \frac{3}{4} t^{2} + \frac{2}{5} t d t$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} \frac{4}{5} t^{3} d t + \int_{0}^{4} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Étape 3

Comme $\frac{4}{5}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{4}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{5} \int_{0}^{4} t^{3} d t + \int_{0}^{4} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{3}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{4} t^{4}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \frac{3}{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Étape 5

Comme $- \frac{3}{4}$ est constant par rapport à $t$ , placez $- \frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \int_{0}^{4} t^{2} d t + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} \frac{2}{5} t d t$

Étape 7

Comme $\frac{2}{5}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{2}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \frac{2}{5} \int_{0}^{4} t d t$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{4}{5} \frac{1}{4} t^{4}]_{0}^{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{4}$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $\frac{1}{4} t^{4}$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{4}{5} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} \frac{1}{3} t^{3}]_{0}^{4} + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{4}$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{1}{3} t^{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} \frac{1}{2} t^{2}]_{0}^{4}$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{1}{2} t^{2}$ sur $4$ et sur $0$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4

Simplifiez

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Étape 9.4.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $256$ .

$\frac{4}{5} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 9.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{5} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{5} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.3.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$\frac{4}{5} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4}{5} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{4}{5} (64 + 0 (\frac{1}{4})) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{5} (64 + 0) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.7

Additionnez $64$ et $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot 64 - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.8

Associez $\frac{4}{5}$ et $64$ .

$\frac{4 \cdot 64}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.9

Multipliez $4$ par $64$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.10

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $64$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.13

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3})) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.14

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} (\frac{64}{3} + 0) + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.15

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$\frac{256}{5} - \frac{3}{4} \cdot \frac{64}{3} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.16

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{256}{5} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.17

Multipliez $64$ par $3$ .

$\frac{256}{5} - \frac{192}{3 \cdot 4} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.18

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{256}{5} - \frac{192}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19

Annulez le facteur commun à $192$ et $12$ .

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Étape 9.4.19.1

Factorisez $12$ à partir de $192$ .

$\frac{256}{5} - \frac{12 \cdot 16}{12} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.19.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{256}{5} - \frac{12 \cdot 16}{12 (1)} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{256}{5} - \frac{12 \cdot 16}{12 \cdot 1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{256}{5} - \frac{16}{1} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.19.2.4

Divisez $16$ par $1$ .

$\frac{256}{5} - 1 \cdot 16 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.20

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{256}{5} - 16 + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.21

Pour écrire $- 16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$\frac{256}{5} - 16 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.22

Associez $- 16$ et $\frac{5}{5}$ .

$\frac{256}{5} + \frac{- 16 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.23

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{256 - 16 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.24

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.4.24.1

Multipliez $- 16$ par $5$ .

$\frac{256 - 80}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.24.2

Soustrayez $80$ de $256$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} ((\frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.25

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{1}{2} \cdot 16 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.26

Associez $\frac{1}{2}$ et $16$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{16}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 9.4.27.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.4.27.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (\frac{8}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.27.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Étape 9.4.28

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 - \frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 9.4.29

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 + 0 (\frac{1}{2}))$

Étape 9.4.30

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} (8 + 0)$

Étape 9.4.31

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2}{5} \cdot 8$

Étape 9.4.32

Associez $\frac{2}{5}$ et $8$ .

$\frac{176}{5} + \frac{2 \cdot 8}{5}$

Étape 9.4.33

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{176}{5} + \frac{16}{5}$

Étape 9.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{176 + 16}{5}$

Étape 9.4.35

Additionnez $176$ et $16$ .

$\frac{192}{5}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{192}{5}$

Forme décimale :

$38.4$

Forme de nombre mixte :

$38 \frac{2}{5}$

Étape 11