Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 1

Multipliez par $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Étape 2

Factorisez $\cos (t)$ à partir de $\cos^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Étape 3

Séparez les fractions.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ à $\tan (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Étape 5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (t)}$ à $\sec (t)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan (t) \sec (t) d t$

Étape 6

Comme la dérivée de $\sec (t)$ est $\tan (t) \sec (t)$ , l’intégrale de $\tan (t) \sec (t)$ est $\sec (t)$ .

$\sec (t)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Évaluez $\sec (t)$ sur $\frac{π}{4}$ et sur $0$ .

$\sec (\frac{π}{4}) - \sec (0)$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} - \sec (0)$

Étape 7.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} - 1 \cdot 1$

Étape 7.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} - 1$

Étape 7.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} - 1$

Étape 7.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} - 1$

Étape 7.3.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} - 1$

Étape 7.3.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} - 1$

Étape 7.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} - 1$

Étape 7.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} - 1$

Étape 7.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 7.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1$

Étape 7.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1$

Étape 7.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1$

Étape 7.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} - 1$

Étape 7.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} - 1$

Étape 7.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} - 1$

Étape 7.3.3.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2} - 1$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2} - 1$

Forme décimale :

$0.41421356 \dots$