Calcul infinitésimal Exemples

$e^{\frac{x}{y}} = x - y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{y}}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{\frac{x}{y}} \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.5

Associez $e^{\frac{x}{y}}$ et $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} = 1 - y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{x}{y}} (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{x}{y}} (y - x y') = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\frac{x}{y}} y + e^{\frac{x}{y}} (- x y') = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y') = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{x}{y}} y - e^{\frac{x}{y}} (x y')$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - x y' e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.3

Déplacez $x$ .

$y e^{\frac{x}{y}} - y' x e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.4

Remettez dans l’ordre $y e^{\frac{x}{y}}$ et $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = (1 - y') y^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(1 - y') y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = 1 y^{2} - y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = y^{2} - y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- y' y^{2}$ .

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} = - y' y^{2} + y^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Ajoutez $y' y^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y e^{\frac{x}{y}}$ des deux côtés de l’équation.

$- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2} = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x e^{\frac{x}{y}} + y' y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}}) + y' (y^{2})$ .

$y' (- 1 x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$

Étape 5.3.5

Divisez chaque terme dans $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ par $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}) = y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ par $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}$ .

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Étape 5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}} + \frac{- y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - y e^{\frac{x}{y}}$ .

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Étape 5.3.5.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y e^{\frac{x}{y}}}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- 1 e^{\frac{x}{y}})$ .

$y' = \frac{y (y - 1 e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2.2

Réécrivez $- 1 e^{\frac{x}{y}}$ comme $- e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- x e^{\frac{x}{y}} + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.5.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x e^{\frac{x}{y}}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) + y^{2}}$

Étape 5.3.5.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x e^{\frac{x}{y}}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.5.3.3.4.1

Réécrivez $- (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ comme $- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{- 1 (x e^{\frac{x}{y}} - y^{2})}$

Étape 5.3.5.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - e^{\frac{x}{y}})}{x e^{\frac{x}{y}} - y^{2}}$