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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 1.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 1.4
Associez et .
Étape 1.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 1.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 1.6.1
Multipliez par .
Étape 1.6.2
Soustrayez de .
Étape 1.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 1.8
Simplifiez
Étape 1.8.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 1.8.2
Multipliez par .
Étape 2
Étape 2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Appliquez les règles de base des exposants.
Étape 2.2.1
Réécrivez comme .
Étape 2.2.2
Multipliez les exposants dans .
Étape 2.2.2.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 2.2.2.2
Associez et .
Étape 2.2.2.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.4
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.5
Associez et .
Étape 2.6
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.7
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.7.1
Multipliez par .
Étape 2.7.2
Soustrayez de .
Étape 2.8
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.9
Associez et .
Étape 2.10
Multipliez par .
Étape 2.11
Simplifiez l’expression.
Étape 2.11.1
Multipliez par .
Étape 2.11.2
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 3
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 4
Étape 4.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 4.1.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 4.1.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 4.1.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 4.1.4
Associez et .
Étape 4.1.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 4.1.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 4.1.6.1
Multipliez par .
Étape 4.1.6.2
Soustrayez de .
Étape 4.1.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 4.1.8
Simplifiez
Étape 4.1.8.1
Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 4.1.8.2
Multipliez par .
Étape 4.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 5
Étape 5.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 5.2
Définissez le numérateur égal à zéro.
Étape 5.3
Comme , il n’y a aucune solution.
Aucune solution
Aucune solution
Étape 6
Étape 6.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 6.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 6.1.2
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 6.2
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.3
Résolvez .
Étape 6.3.1
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.
Étape 6.3.2
Simplifiez chaque côté de l’équation.
Étape 6.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 6.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.3.2.2.1
Simplifiez .
Étape 6.3.2.2.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.3.2.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.3.2.2.1.3
Multipliez les exposants dans .
Étape 6.3.2.2.1.3.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.3.2.2.1.3.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.3.2.2.1.3.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.3.2.2.1.3.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.3.2.2.1.4
Simplifiez
Étape 6.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.3.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 6.3.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 6.3.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.3.3.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.3.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.3.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.3.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 6.3.3.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.3.3.3.1
Divisez par .
Étape 6.4
Définissez le radicande dans inférieur à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 6.5
L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à , l’argument d’une racine carrée est inférieur à ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à .
Étape 7
Points critiques à évaluer.
Étape 8
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 9
Étape 9.1
Simplifiez l’expression.
Étape 9.1.1
Réécrivez comme .
Étape 9.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 9.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 9.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 9.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 9.3
Simplifiez l’expression.
Étape 9.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 9.3.2
Multipliez par .
Étape 9.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 9.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Indéfini
Étape 10
Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.
Aucun extremum local
Étape 11