Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sec (x))$

Étape 1

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = \sec (x) \tan (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 2.3.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 2.4

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x))$

Étape 2.5

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)$

Étape 2.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)$

Étape 2.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$