Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{2} - 3 x^{2} + x^{- 3}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x}{2} - 3 x^{2} + x^{- 3} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{x}{2} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int x^{- 3} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int x d x + \int - 3 x^{2} d x + \int x^{- 3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x + \int x^{- 3} d x$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x + \int x^{- 3} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x^{- 3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$\frac{x^{2}}{4} - x^{3} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Étape 9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{4} x^{2} - x^{3} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x}{2} - 3 x^{2} + x^{- 3}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{2} - x^{3} - \frac{1}{2} x^{- 2} + C$