Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} e^{x} d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{3}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - \int e^{x} (3 x^{2}) d x$

Étape 2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} e^{x} - (3 \int e^{x} (x^{2}) d x)$

Étape 3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 \int e^{x} (x^{2}) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x)$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x))$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x)$

Étape 7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x))$

Étape 8

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)))$ comme $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$

Étape 9.2

Réécrivez $x^{3} e^{x} - 3 (x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}) + C$ comme $x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 6 e^{x} + C$ .

$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 (x e^{x}) - 6 e^{x} + C$

Étape 9.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x} - 6 e^{x} + C$