Calcul infinitésimal Exemples

$\int \tan^{3} (x) \sec^{6} (x) d x$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Réécrivez $6$ comme $4$ plus $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

Étape 1.2

Réécrivez ${\sec (x)}^{4 + 2}$ comme $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Étape 1.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int \tan^{3} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 1.4

Réécrivez ${\sec (x)}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

$\int \tan^{3} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sec^{2} (x)$ comme $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

Étape 3

Laissez $u = \tan (x)$ . Alors $d u = \sec^{2} (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \tan (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

$\sec^{2} (x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{3} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

Étape 4

Développez $u^{3} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.1

Réécrivez ${(1 + u^{2})}^{2}$ comme $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int u^{3} (1 \cdot 1) + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.8

Déplacez $u^{3}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + u^{3} (1 u^{2}) + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.9

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (u^{2} \cdot 1) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.10

Remettez dans l’ordre $u^{2}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + u^{3} (1 \cdot u^{2}) + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.11

Remettez dans l’ordre $u^{3}$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{3} + 1 \cdot u^{3} u^{2} + 1 \cdot u^{3} \cdot u^{2} + u^{3} (u^{2} u^{2}) d u$

Étape 4.12

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.13

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$\int u^{3} + 1 u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.14

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.16

Additionnez $3$ et $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + 1 u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.17

Multipliez $u^{3}$ par $1$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3} u^{2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{3 + 2} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.19

Additionnez $3$ et $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3} u^{2} u^{2} d u$

Étape 4.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{3 + 2} u^{2} d u$

Étape 4.21

Additionnez $3$ et $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Étape 4.22

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Étape 4.23

Additionnez $5$ et $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} + u^{5} + u^{7} d u$

Étape 4.24

Additionnez $u^{5}$ et $u^{5}$ .

$\int u^{3} + 2 u^{5} + u^{7} d u$

Étape 4.25

Remettez dans l’ordre $2 u^{5}$ et $u^{7}$ .

$\int u^{3} + u^{7} + 2 u^{5} d u$

Étape 4.26

Déplacez $u^{3}$ .

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

$\int u^{7} + 2 u^{5} + u^{3} d u$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int u^{7} d u + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{7}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int 2 u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 \int u^{5} d u + \int u^{3} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{5}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \int u^{3} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{1}{6} u^{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $u^{6}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C + 2 (\frac{u^{6}}{6} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

$\frac{u^{8}}{8} + \frac{u^{6}}{3} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$\frac{\tan^{8} (x)}{8} + \frac{\tan^{6} (x)}{3} + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

Étape 12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{8} \tan^{8} (x) + \frac{1}{3} \tan^{6} (x) + \frac{1}{4} \tan^{4} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$