Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ comme $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ en déplaçant $\cot (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Étape 3

Réécrivez $\cot (x) \ln (1 + x)$ comme $\frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 4.1.3.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Étape 4.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Étape 4.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 4.1.3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Étape 4.1.3.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{0}{0}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (1 + x)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.7

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1 + x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Étape 4.3.9

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Étape 4.3.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Étape 4.3.11

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Étape 4.3.12

Simplifiez

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Étape 4.3.12.1

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Étape 4.3.12.2

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Étape 4.3.13

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.14

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.15

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.16

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.17

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.18

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.19

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.21

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.22

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.23

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.24

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.25

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.26

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.26.1

Réorganisez les termes.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.26.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x + 1} \cos^{2} (x)}$

Étape 4.5

Associez $\frac{1}{x + 1}$ et $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{x + 1}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 5.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\frac{\cos^{2} (0)}{0 + 1}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{1^{2}}{0 + 1}}$

Étape 7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{\frac{1}{0 + 1}}$

Étape 7.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Étape 7.3

Divisez $1$ par $1$ .

$e^{1}$

Étape 8

Simplifiez

$e$