Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{4} - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $16 x^{4} - 8 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $16 x^{4}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) - 8 x^{2}}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.1.2

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $- 8 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.1.3

Factorisez $8 x^{2}$ à partir de $8 x^{2} (2 x^{2}) + 8 x^{2} (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{8 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.2

Réécrivez $8 x^{2} (2 x^{2} - 1)$ comme ${(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 (2) x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 x^{2} (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2^{2} x^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.2.4

Réécrivez $2^{2} x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot 2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.2.5

Ajoutez des parenthèses.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2} \cdot (2 (2 x^{2} - 1))}}{x^{2} - 2}$

Étape 1.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2} - 2}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x (2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)})}{x \cdot x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}}}$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2.2

Multipliez.

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Étape 3.2.2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} + 2 \cdot - 1}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.5

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 2$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} - 2}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 \cdot 2 x^{2} + 2 (- 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2 (2 x^{2} - 1)}}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 4

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 5.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 5.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 (2 x^{2} - 1)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 5.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x^{2}}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{lim_{x \to - \infty} 2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 9.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{lim_{x \to - \infty} 1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 9.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}$

Étape 9.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 \frac{2 - 0}{1}}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Divisez $2 - 0$ par $1$ .

$\frac{2 \frac{- \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}}{1 - 2 \cdot 0}$

Étape 11.2

Divisez $- \sqrt{2 (2 - 0)}$ par $1$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2 (2 - 0)})}{1 - 2 \cdot 0}$

Étape 11.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 - 2 \cdot 0}$

Étape 11.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.4.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1 + 0}$

Étape 11.4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 - 0)}}{1}$

Étape 11.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.5.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 (2 + 0)}}{1}$

Étape 11.5.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2 \cdot 2}}{1}$

Étape 11.5.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{4}}{1}$

Étape 11.5.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2^{2}}}{1}$

Étape 11.5.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{- 2 \cdot 2}{1}$

Étape 11.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4}{1}$

Étape 11.7

Divisez $- 4$ par $1$ .

$- 4$