Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{5} - 12 x^{2} + 14 x}{2 x^{4} + 13 x^{3}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x^{5}}{x^{4}} + \frac{- 12 x^{2}}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $6 x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (6 x)}{x^{4}} + \frac{- 12 x^{2}}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (6 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{4} (6 x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{- 12 x^{2}}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x}{1} + \frac{- 12 x^{2}}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.4

Divisez $6 x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + \frac{- 12 x^{2}}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 12 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + \frac{x^{2} \cdot - 12}{x^{4}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + \frac{x^{2} \cdot - 12}{x^{2} x^{2}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + \frac{x^{2} \cdot - 12}{x^{2} x^{2}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x + \frac{- 12}{x^{2}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14 x}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $14 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{x \cdot 14}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x^{3}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{x \cdot 14}{x \cdot x^{3}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.2.1.2

Divisez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{2 + \frac{13 x^{3}}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $13 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{2 + \frac{x^{3} \cdot 13}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{2 + \frac{x^{3} \cdot 13}{x^{3} x}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{2 + \frac{x^{3} \cdot 13}{x^{3} x}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - \frac{12}{x^{2}} + \frac{14}{x^{3}}}{2 + \frac{13}{x}}$

Étape 3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{12}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - 0 + \frac{14}{x^{3}}}{2 + \frac{13}{x}}$

Étape 4

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{14}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - 0 + 0}{2 + \frac{13}{x}}$

Étape 5

Lorsque $x$ approche de $\infty$ , la fraction $\frac{13}{x}$ approche de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x - 0 + 0}{2 + 0}$

Étape 6

Comme son numérateur n’a pas de borne lorsque son dénominateur approche d’un nombre constant, la fraction $\frac{6 x - 0 + 0}{2 + 0}$ approche de l’infini.

$\infty$