Calcul infinitésimal Exemples

$x = \sec (\frac{1}{y})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (\frac{1}{y}))$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{1}{y}$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = y$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Multipliez $y$ par $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [y]$ de $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{y'}{y^{2}})$

Étape 3.5

Associez $\sec (\frac{1}{y})$ et $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}})$

Étape 3.6

Associez $\tan (\frac{1}{y})$ et $\frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = - \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.2.1

Divisez $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.2.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = - 1$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Étape 5.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Étape 5.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ par $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ par $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\tan (\frac{1}{y})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\sec (\frac{1}{y})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Étape 5.5.3.2

Séparez les fractions.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{1}{y})})$

Étape 5.5.3.3

Réécrivez $\tan (\frac{1}{y})$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}})$

Étape 5.5.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})})$

Étape 5.5.3.5

Convertissez de $\frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})}$ à $\cot (\frac{1}{y})$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Étape 5.5.3.6

Séparez les fractions.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Étape 5.5.3.7

Réécrivez $\sec (\frac{1}{y})$ en termes de sinus et de cosinus.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}} \cot (\frac{1}{y}))$

Étape 5.5.3.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} (1 \cos (\frac{1}{y})) \cot (\frac{1}{y}))$

Étape 5.5.3.9

Multipliez $\cos (\frac{1}{y})$ par $1$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y}))$

Étape 5.5.3.10

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y' = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$