Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.4.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ .

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Étape 2.4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.6.3

Factorisez $x$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.6.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 2.4.6.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x + 2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y y' + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 y y'$ et $0$ .

$2 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.4.1

Déplacez $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.5

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.6

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.2.1.7

Remettez dans l’ordre $2 x y$ et $- y' x^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Simplifiez $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

Étape 5.3.1.3

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

Étape 5.3.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Étape 5.3.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Étape 5.3.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Étape 5.3.1.4.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Étape 5.3.1.4.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.3.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Étape 5.3.1.4.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Étape 5.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

Étape 5.3.1.6

Simplifiez

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Étape 5.3.1.6.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.6.1.1

Déplacez $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Étape 5.3.1.6.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Étape 5.3.1.6.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.6.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

Étape 5.3.1.6.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.3.1.6.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

Étape 5.3.1.6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

Étape 5.3.1.6.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

Étape 5.3.1.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

Étape 5.3.2

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.3

Ajoutez $y' x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ .

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Étape 5.3.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $2 y^{3} y'$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.4.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Étape 5.3.5

Divisez chaque terme dans $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ par $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ par $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Étape 5.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

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Étape 5.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Étape 5.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x y + x^{2}$ .

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Étape 5.3.5.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Étape 5.3.5.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (2 y) + x \cdot x$ .

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$