Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1 + \sin (y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Étape 5.3

Soustrayez $y' \cos (y)$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Étape 5.4

Ajoutez $y \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Étape 5.6

Réécrivez $- 1 \cos (y)$ comme $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y) - \cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Étape 5.7.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Étape 5.7.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Étape 5.7.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Étape 5.7.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.7.3.4.1

Réécrivez $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ comme $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Étape 5.7.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$