Calcul infinitésimal Exemples

$x^{y} = y^{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = x$ et $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Étape 2.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = y$ et $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Étape 3.4

Multipliez $y^{x}$ par $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Étape 3.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Étape 5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Étape 5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Étape 5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Étape 5.5

Soustrayez $x y' y^{x - 1}$ des deux côtés de l’équation.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Étape 5.6

Ajoutez $\ln (y) y^{x}$ aux deux côtés de l’équation.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Étape 5.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

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Étape 5.7.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Étape 5.7.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Étape 5.7.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Étape 5.8

Divisez chaque terme dans $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ par $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ et simplifiez.

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Étape 5.8.1

Divisez chaque terme dans $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ par $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

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Étape 5.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.8.3.5.1

Réécrivez $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ comme $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 5.8.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$