Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.5.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Étape 3.5.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 3.6.2

Multipliez $e^{x \ln (x)}$ par $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Étape 3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$