Calcul infinitésimal Exemples

$y = e^{- x} \sin (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{- x} \sin (x))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Étape 3.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Étape 3.4.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Étape 3.4.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Étape 3.4.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$